Bond Convexity: কখন Duration দিয়ে Price Risk পুরো বোঝা যায় না

Bond Convexity: কখন Duration দিয়ে Price Risk পুরো বোঝা যায় না

Read in English

Learning objective

এই tutorial শেষে আপনি বুঝতে পারবেন কেন duration bond price-এর response-এর প্রথম estimate মাত্র, বড় yield move-এর ক্ষেত্রে convexity কীভাবে estimate improve করে এবং call বা prepayment feature কখন negative convexity তৈরি করতে পারে।

সংক্ষেপে মূল কথা

Bond price ও yield সাধারণত বিপরীত দিকে চলে। Duration আজকের yield-এর আশেপাশে এই relationship-এর slope estimate করে। কিন্তু পুরো price-yield relationship curved, তাই yield change বড় হলে straight-line duration estimate কম accurate হয়। Convexity এই curvature মাপে।

সাধারণ option-free fixed-rate bond-এর positive convexity থাকলে yield সমান পরিমাণ কমার কারণে percentage gain সাধারণত yield একই পরিমাণ বাড়ার percentage loss-এর চেয়ে একটু বড় হয়। Convexity interest-rate risk, credit risk বা liquidity risk দূর করে না। এটি estimate-এর একটি অংশ refine করে।

১. Duration-এর সঙ্গে দ্বিতীয় term কেন দরকার

Modified duration একটি first-order approximation দেয়:

Estimated price change (%) ≈ −Modified duration × Yield change

Minus sign সাধারণ inverse relationship বোঝায়। Modified duration 7 এবং yield 0.50 percentage point বাড়লে decimal form-এ change হবে 0.005। Duration-only estimate:

−7 × 0.005 = −0.035, অর্থাৎ −3.50%।

এই calculation price-yield relationship-কে starting yield-এর কাছে curve-এর tangent straight line হিসেবে ধরে। ছোট, parallel yield change এবং অপরিবর্তিত cash flow-এর ক্ষেত্রে এটি সবচেয়ে ভালো কাজ করে। Move বড় হলে curve-এর কারণে actual estimate tangent line থেকে সরে যায়।

Convexity adjustment একটি second-order term যোগ করে:

Estimated price change (%) ≈ −Dmod × Δy + ½ × Convexity × (Δy)²

এখানে Dmod হলো modified duration, Δy decimal form-এ yield change এবং convexity figure যে source থেকে নেওয়া হয়েছে তার convention একই থাকতে হবে। Yield change square করা হয় বলে conventional positive-convexity bond-এর ক্ষেত্রে yield বাড়ুক বা কমুক—adjustment positive থাকে।

২. Worked example

ধরি, একটি hypothetical option-free bond-এর:

• Current clean price: 100
• Modified duration: 7.0
• Convexity: 60
• Yield change: plus বা minus 1.00 percentage point, অর্থাৎ 0.01

Yield 1.00 percentage point বাড়লে

Duration component:

−7.0 × 0.01 = −7.00%

Convexity component:

½ × 60 × (0.01)² = +0.30%

Combined estimate:

−7.00% + 0.30% = −6.70%

Accrued interest, spread change, fee বা অন্য risk ধরার আগে estimated price হবে প্রায় 93.30।

Yield 1.00 percentage point কমলে

Duration component:

−7.0 × (−0.01) = +7.00%

Convexity component +0.30%-ই থাকবে। তাই combined estimate +7.30% এবং estimated price প্রায় 107.30।

এই asymmetry-ই মূল বিষয়: simplified example-এ 1-point yield fall থেকে estimated gain, 1-point rise-এর estimated loss-এর চেয়ে বড়। Bond-এর cash flow থেকে exact repricing পাওয়া গেলে সেটি ভালো। Duration plus convexity তবুও একটি approximation।

৩. Positive ও negative convexity

বেশিরভাগ সাধারণ option-free bond-এর positive convexity থাকে। Cash flow fixed থাকে এবং উপরের সীমিত অর্থে price-yield curve investor-এর পক্ষে bow করে।

Embedded option এই shape বদলাতে পারে:

• Callable bond: yield কমলে issuer refinancing করে bond call করতে পারে। Expected cash flow ছোট হওয়ায় investor-এর upside cap হতে পারে।
• Mortgage-backed security: rate কমলে borrower refinance করতে পারে এবং principal আগে ফেরত আসে; rate বাড়লে prepayment slow হয়ে security-এর effective duration লম্বা হতে পারে।
• Puttable bond: yield বাড়লে holder-এর put option downside behaviour বদলাতে পারে।

Federal Reserve mortgage-backed security-তে negative convexity বোঝাতে বলেছে, rate বাড়লে expected maturity লম্বা হতে পারে এবং extension risk বাড়তে পারে। Cash flow বদলায় এমন security-এর ক্ষেত্রে fixed cash-flow calculation-এর বদলে pricing model থেকে পাওয়া effective duration ও effective convexity বেশি relevant।

৪. Convexity সবসময় free advantage নয়

একই yield ও duration-এর দুটি bond-এর convexity আলাদা হতে পারে। কিন্তু বেশি positive-convexity instrument ইতিমধ্যে higher price বা lower yield-এ trade করতে পারে। Transaction cost, liquidity, credit spread ও tax treatment ছোট convexity difference-এর প্রভাব ছাড়িয়ে যেতে পারে।

Convexity নিজে বলে না rate বাড়বে নাকি কমবে। নির্দিষ্ট assumption-এর অধীনে এটি price response-এর local shape বর্ণনা করে। এটি market-timing signal নয়।

৫. কোন কারণে estimate ভুল হতে পারে

Duration-convexity formula প্রায়ই ধরে নেয় একটি yield বদলাবে, বাকি সব একই থাকবে। বাস্তবে portfolio ভিন্নভাবে behave করতে পারে:

1. Yield curve unevenly move করে। Two-year ও ten-year yield ভিন্ন পরিমাণ বদলাতে পারে। Curve dimension বুঝতে আমাদের steepener এবং flattener guide পড়ুন।
2. Credit spread বদলায়। Government benchmark yield কমলেও corporate bond value হারাতে পারে। আমাদের credit-spread guide এই effect আলাদা করে।
3. Cash-flow assumption বদলায়। Call, prepayment ও default timing এবং amount বদলে দিতে পারে।
4. Quote stale হয়। Thinly traded bond-এর recent executable price নাও থাকতে পারে।
5. Metric convention আলাদা হয়। Convexity ভিন্ন scaling বা compounding assumption-এ report হতে পারে। Provider-এর definition না দেখে formula-তে number বসাবেন না।

৬. Practical comparison process

দুটি bond বা fund compare করার সময়:

1. Yield, modified বা effective duration, convexity, currency এবং valuation time record করুন।
2. Security-তে call, put বা prepayment exposure আছে কি না confirm করুন।
3. একই hypothetical yield shock ব্যবহার করুন—যেমন ±25, ±50 ও ±100 basis point।
4. প্রথমে duration-only result calculate করুন, তারপর convexity term যোগ করুন।
5. Embedded option থাকলে issuer বা fund-এর effective measure ব্যবহার করুন এবং model assumption পড়ুন।
6. Credit spread ও curve-shape change আলাদাভাবে stress করুন।
7. Platform exact repricing দিলে estimate-এর সঙ্গে compare করুন।
8. Portfolio decision-এর আগে bid-ask spread, fee, tax ও liquidity include করুন।

Common mistakes

• One-percentage-point yield change-এর জন্য 0.01-এর বদলে 1 ব্যবহার করা।
• Reported definition যেখানে আশা করে সেখানে one-half factor ছাড়া convexity term যোগ করা।
• Maturity-কে duration মনে করা।
• সব bond-এর positive convexity আছে ধরে নেওয়া।
• ভিন্ন convention ব্যবহার করা provider-এর metric compare করা।
• বড় curve, currency বা credit-spread exposure থাকা portfolio-তে single parallel-yield shock apply করা।
• Approximation-কে guaranteed future price মনে করা।

Convexity ব্যবহার করার আগে checklist

• Yield change কি decimal form-এ আছে?
• Duration ও convexity কি একই valuation time-এ measured?
• Security-তে call, put বা prepayment option আছে?
• Cash-flow ও volatility assumption documented?
• Rising ও falling yield—দুই দিক test করেছেন?
• Curve ও credit-spread risk আলাদাভাবে test করেছেন?
• Underlying price recent ও executable?
• Cost ও liquidity check করেছেন?

Sources

• Federal Reserve: The U.S. Treasury yield curve—duration and convexity
• FINRA: Duration and bond portfolio interest-rate risk
• Investor.gov: Fixed-income investments and interest-rate risk
• Federal Reserve: MBS negative convexity and extension risk

এই tutorial The Money Man editorial workflow-এর অধীনে AI-assisted research ও writing দিয়ে তৈরি। এটি educational information, personalised investment advice বা bond recommendation নয়। Worked figure hypothetical এবং এখানে credit-spread change, cost, tax ও liquidity effect ধরা হয়নি।