Kelly Criterion ও Fractional Kelly: Position Sizing, Edge ও Drawdown Risk

Kelly criterion: growth maths, estimation risk ও drawdown

Kelly criterion defined probability model-এর অধীনে long-run expected logarithmic growth maximise করা capital fraction estimate করে। এটি edge discover করে না, bad data থেকে protect করে না বা comfortable drawdown guarantee করে না।

Read in English: Kelly Criterion and Fractional Kelly: Position Sizing and Drawdown Risk

শেখার লক্ষ্য: simple Kelly fraction calculate করা, assumption বোঝা, parameter error কীভাবে overbetting তৈরি করে দেখা এবং fractional Kelly-কে universal rule নয়, research choice হিসেবে evaluate করা।

1. Edge estimate করার পরে Kelly শুরু হয়

J. L. Kelly Jr.-এর 1956 paper “A New Interpretation of Information Rate” information ও long-run exponential capital growth maximisation connect করে। Simplified repeated binary setup-এ sizing depend করে:

• p: win-এর probability;
• q: loss-এর probability, 1 − p;
• b: প্রতি এক unit loss-এর বিপরীতে average net win।

Formula:

Full Kelly fraction f = (b × p − q) ÷ b*

Output model-এর অধীনে current capital-এর risk fraction। এটি automatically position notional size নয়। Cash risk-কে unit-এ convert করতে stop distance, instrument value ও gap assumption দরকার।

2. Positive fraction-এর জন্য positive expectancy দরকার

Numerator b × p − q loss unit-এ simplified expectancy। Zero হলে assumption-এর পরে model-এ edge নেই। Negative হলে formula ওই direction-এ trade support করে না।

Negative result automatically short করার permission নয়। Reverse trade-এর cost, probability, skew ও execution rule আলাদা হতে পারে।

Kelly ব্যবহারের আগে commission, spread, slippage, financing ও realistic loss-এর পরে result estimate করুন। Planned target ও stop যথেষ্ট নয়; actual বা conservatively modelled fill ব্যবহার করুন।

Worked example

ধরা যাক hypothetical strategy-এর:

• estimated win probability p = 45%;
• loss probability q = 55%;
• average net win 1.5R;
• average net loss 1R।

Simplified expectancy:

0.45 × 1.5R − 0.55 × 1R = +0.125R প্রতি trade

Full Kelly fraction:

f = (1.5 × 0.45 − 0.55) ÷ 1.5 = 0.0833, বা 8.33%*

Exact, stable ও independent assumption-এর অধীনে formula প্রতিটি trade-এর one-unit loss risk-এ current capital-এর 8.33% allocate করে। £10,000 account-এর জন্য প্রায় £833 modelled loss risk—অনেক trader-এর tolerate করার চেয়ে বেশি।

Stop distance প্রতি share £2 হলে theoretical full-Kelly calculation £833 ÷ £2 ≈ 416 shares, gap ও cost-এর আগে। এটি mathematical output, recommendation নয়।

3. Full Kelly severe drawdown তৈরি করতে পারে

8.33% fraction-এ consecutive পাঁচটি one-unit loss capital approximately কমায়:

Remaining capital = 0.9167⁵ ≈ 64.7%

Assumed loss-এর বাইরে gap হওয়ার আগেই প্রায় 35.3% drawdown। Positive expectancy strategy-তেও এমন losing streak হতে পারে।

Formula model-এর মধ্যে long-run log growth maximise করে। Drawdown, volatility বা emotional difficulty minimise করে না। Drawdown-এর মধ্যে process abandon করলে theoretical long-run result realise হবে না।

4. Fractional Kelly output scale করে

Fractional Kelly full fraction-কে chosen value দিয়ে multiply করে:

• Half Kelly: 8.33% × 0.5 = 4.17%।
• Quarter Kelly: 8.33% × 0.25 = 2.08%।

পাঁচটি assumed full loss-এর পরে:

• half Kelly প্রায় 80.8% রাখে, 19.2% drawdown;
• quarter Kelly প্রায় 90.0% রাখে, 10.0% drawdown।

Figures gap, changing volatility ও correlated position ignore করে। CFA Institute Research Foundation fractional Kelly strategy-তে growth ও security trade-off discuss করেছে। Fraction কমালে সাধারণত smoother wealth path-এর বিনিময়ে কিছু modelled growth sacrifice হয়, তবে কোনো fraction bad input safe করে না।

5. Input uncertainty central problem

Live trading true win probability বা payoff ratio reveal করে না। Finite, changing sample থেকে estimate করা হয়।

ধরা যাক real win rate estimated 45% নয়, 40%, আর b 1.5 থাকে:

f = (1.5 × 0.40 − 0.60) ÷ 1.5 = 0*

Five-percentage-point estimation error apparent 8.33% full-Kelly allocation-কে simplified model-এ no long-side edge-এ বদলে দেয়।

Win rate ও payoff একসঙ্গেও move করতে পারে। Gap, liquidity shock বা regime change-এ losing trade বড় হতে পারে। Backtest estimate stable ধরার আগে Win Rate and Sample Size পড়ুন।

6. Independence প্রায়ই false

Ticker আলাদা হলেও multiple trade একই factor share করতে পারে। তিনটি long technology position একসঙ্গে lose করতে পারে; gold, currency ও miner একই rates shock-এ respond করতে পারে।

Correlated position-এ single-trade Kelly independently apply করলে excessive portfolio risk তৈরি হতে পারে। Full portfolio treatment-এ expected return, covariance, constraint ও scenario risk দরকার। Practical risk control-এ আরও cap করুন:

• সব stop execute হলে total open loss;
• gross ও leveraged exposure;
• sector ও factor concentration;
• overnight ও event-gap risk;
• liquidity ও maximum executable size।

7. Noise chase না করে re-estimate করুন

প্রতিটি small streak-এর পরে update করলে unstable sizing হতে পারে। Advance-এ define করুন:

1. minimum sample ও data window;
2. estimate rolling নাকি expanding;
3. cost ও outlier treatment;
4. strategy কখন suspend হবে;
5. formula যাই বলুক maximum allowed fraction।

একটি optimistic input-এর বদলে confidence range ব্যবহার করুন। একটি conservative approach lower-bound win-rate ও payoff assumption থেকে Kelly calculate করে, তারপর additional fraction ও hard portfolio cap apply করে। এটি research framework, universal prescription নয়।

8. Sequence risk stress করুন

Kelly repeated opportunity-এর compounding-এর ওপর depend করে। Win ও loss-এর order path ও operational survivability shape করে।

Historical trade shuffle করুন, win rate ও payoff vary করুন, gap-এর জন্য loss widen করুন এবং correlated cluster include করুন। Monte Carlo and Sequence Risk এক backtest order-এর বদলে possible path distribution examine করা explain করে।

Risk budget set করার পরে unit calculation-এর জন্য Position Sizing and Risk Budgeting ব্যবহার করুন।

Common mistake

1. Independently tested edge size করার বদলে Kelly দিয়ে edge invent করা।
2. Realised result-এর বদলে planned win ও loss formula-তে দেওয়া।
3. Small-sample win rate-কে true probability ধরা।
4. Uncertain বা changing input সত্ত্বেও full Kelly apply করা।
5. Capital-at-risk fraction ও notional allocation confuse করা।
6. প্রতিটি correlated trade independently calculate করা।
7. One-unit assumption-এর বাইরে gap loss ignore করা।
8. Lucky streak-এর পরে immediately size বাড়ানো।

Practical checklist

• সব cost-এর পরে win probability ও payoff estimate করা হয়েছে?
• Sample যথেষ্ট large ও representative?
• Modestly worse input-এ Kelly কত sensitive?
• One-unit loss gap ও slippage include করে?
• Output cash risk নাকি notional exposure?
• কোন position correlated?
• কোন hard cap formula override করে?
• কোনো Kelly fraction tolerated drawdown-এর সঙ্গে fit করে?
• Sequence risk stress-test করা হয়েছে?
• কোন evidence strategy suspend বা retire করে?

The Money Man View

Kelly diagnostic হিসেবে সবচেয়ে valuable: claimed edge win probability ও payoff-এর ওপর কতটা depend করে তা দেখায়। Full Kelly estimation error-এর প্রতি highly sensitive এবং deep drawdown তৈরি করতে পারে। Mathematical output-এর কোনো fraction consider করার আগে conservative input, portfolio constraint ও stress test ব্যবহার করুন।

শিক্ষামূলক risk disclosure

এই tutorial hypothetical simplified binary model ব্যবহার করেছে এবং The Money Man editorial workflow-এর অধীনে AI-assisted research ও writing দিয়ে প্রস্তুত। এটি শিক্ষামূলক তথ্য, personalised investment advice বা Kelly sizing ব্যবহারের recommendation নয়। Estimated edge disappear করতে পারে, loss assumption ছাড়াতে পারে এবং leveraged position deposited capital-এর চেয়ে বেশি lose করতে পারে।